Albert během své kariéry nastupoval jen za budapešťský Ferencváros, za který nastřílel 383 branek v 537 zápasech a čtyřikrát s tímto týmem vyhrál domácí ligu.
Za maďarské národní mužstvo odehrál 75 zápasů a skóroval v nich jedenatřicetkrát. Zúčastnil se světových šampionátů v letech 1962 a 1966 a na olympijských hrách v Římě v roce 1960 získal bronzovou medaili.
Proti někdejšímu Československu nastoupil Albert ve dvou soutěžních a jednom přátelském utkání.
Poprvé to bylo 10. června 1962 ve čtvrtfinále mistrovství světa v Chile, maďarští fotbalisté tehdy prohráli 0:1. Další utkání se hrálo 11. listopadu 1964 v Budapešti, bylo přátelské a skončilo remízou 2:2. Albert vstřelil oba góly domácích.
Potřetí šlo o kvalifikační zápas o postup na mistrovství světa 1970 v Mexiku, v Budapešti maďarský tým 25. května 1969 zvítězil 2:0 a Albert se na tomto vítězství podílel jedním gólem.
Důvody úmrtí legendárního fotbalisty, jehož jméno od roku 2007 nese stadion Ferencvárose, nejsou známy. Minulý týden však Albert podstoupil operaci srdce.