V Anglii strávil Štěch velkou část kariéry. Ve West Hamu se neprosadil a hostoval v týmech Wycombe, Bournemouth, Leyton a Yeovil, který ho v roce 2012 získal natrvalo na dvě sezony.
Štěch až na svůj první ročník 2014/15 ve Spartě nedostával moc prostoru a dohromady odchytal jen 19 ligových zápasů. V červnu 2014 nastoupil za českou reprezentaci v přípravě s Rakouskem.
Ze Sparty už v úterý odešel další brankář Miroslav Miller, který ukončil hráčskou kariéru a zamířil trénovat gólmany do Bohemians 1905. O den dříve na Letnou přišel Slovák Martin Dúbravka po vypršení smlouvy v Liberci.
